※今日の英語，どちらも「記入する」という意味でよく使います。
fill outは書類全体に必要事項を全て記入する、というニュアンスが強いです。それに対して、fill inは特定の項目を記入する、というニュアンスが強いです。
ただし、日常会話では、厳密に使い分ける必要はなく、どちらを使っても通じることがほとんどです。
ただし、日常会話では、厳密に使い分ける必要はなく、どちらを使っても通じることがほとんどです。
アメリカではfill outを、イギリスではfill inをよく使います。
「英語例文１」
Please fill out this application form.「この応募用紙にご記入ください。」
「英語例文２」
Please fill in the blanks on this form.「この用紙の空欄にご記入ください。」