compliment [‘käm-plə-mənt]は「褒め言葉、お世辞」、complement [‘käm-plə-mənt]は「補完物、補語」です。
綴りの違いは、褒め言葉の方は真ん中の部分が’i’で、補完物の方は同じく真ん中の部分が’e’です。

それでは覚え方です。
褒め言葉の方の’i’は、そのまま読むとアイなので「愛(i)」とします。補完物の’e’の方は、そのまま読むとイーなので「いい加減(e加減)」とします。
そうすると、これら2つの英単語の違いは、意味をも含めて以下の句に読み込むことができます。

暗記句：愛ある「褒め言葉」、いい加減な「補完物」

褒め言葉の裏には、好意、あるいは愛があるものですよね。

今日は、以下のようなストーリーをつくってみました。

今年68歳になるトメおばあちゃんの入れ歯が、ダメになりました。
そこで、先日家の近くに開業した「藪(やぶ)デンタルクリニック」に行き、新しいものを作ってもらいました。
が、これがまったく合わず、使い物になりません。
そのあまりのひどさに、トメおばあちゃんは思わず叫びました。

「何これ、いい加減な補完物ね！」

ちなみに、complimentには、「褒め言葉」と「お世辞」の意味がありますが、どちらの意味で使われているかは、文脈で判断するしかありません。
逆に、こちらから相手に、「お世辞」であることを伝えたい場合には、頭にemptyをつけて、「empty compliment」とします。
このようにすると、お世辞であることが、より明快に伝えられます。
complementの方は、「補完物」「補完する」というように、名詞としても動詞としても使われます。

最後に、双方の英単語の意味を、文章の中で確認しておきましょう。

Is that a compliment?
(それは、褒め言葉ですか？)
He complimented her on her beauty.
(彼は、彼女を美しいとほめた)
If you compliment someone on her diamond ring, asking the price is inappropriate.
(もしあなたが、誰かのダイヤモンドの指環をほめても、その値段を尋ねるのは適切ではない)
Mouse complements keyboard.
(マウスは、キーボードを補完する(=マウスがあると、キーボードがより便利に使える))
The brooch complements your dress perfectly.
(そのブローチで、あなたの服装は完全に整う)
Mercy must be a complement to the law.
(法律は、慈悲によって補わなければならない)