※今日の英語，ちょっと堅苦しい言い方です。使用頻度は高くはありません。
このlikeは「似ている」という形容詞で、mindは「意見」や「考え」の意味なので、be of like mindは「似た考えや意見をもっている」という意味になります。
同様な言い方として、以下のものも使います。
be of one mind「一つの考えや意見をもっている」→「同じ考えや意見をもっている」
be of the same mind「同じ考えや意見をもっている」
「英会話例文」
We are of like mind and have common interests.「私たちは同じ考えをもっていて，共通の関心をもっています。」
