「意味」...に本気で取り組む。...に本腰を入れて取り組む。
※今日の英語，よく使います。
「自分の歯（one’s teeth）を...に沈める（sink）」ということから，「...に深く咬みつく」，そして，そこから比喩的に「...に本気で取り組む」といった意味で使います。
get one’s teeth into …という言い方もありますが，こちらはイギリス英語でよく使います。sinkを使うよりもやや穏やかな感じです。
「英語例文」
I’m eager to sink my teeth into this project.「私はこのプロジェクトに熱心に本気で取り組みたいと思っています。」