※今日の英語，使用頻度は高くはありません．wagは「振る」，「揺らす」の意味です．

the dog wagging the tailであれば「尻尾を振っている犬」ですが，the tail wagging the dogはその逆で「犬を振っている尻尾」なので，「重要な，あるいは，力のある人（ここでは犬）がそうでない人（尻尾）にコントロールされている状態」を表します．

以下の例文のようにa case of the tail wagging the dogで使う場合がよくあります．

「英語例文」
It was a case of the tail wagging the dog, but the dog was helpless. 「それは主客転倒だが，その人は自分ではどうすることもできなかった。」

※今日の英語，旧約聖書にある言葉に由来します．前半部のThe race is not to the swift.だけで使う場合もあります．

swiftは「敏速な」という意味の形容詞ですが，それにtheを付けて「敏速な人」といった意味になります．

The race is not to the swift, nor the battle to the strong.で，「敏速な人(the swift)が競争(race)に勝つわけではないし、強い者(the strong)が戦い(battle)に勝つわけでもない」といった意味合いです．

「英語例文」
The race is not to the swift, nor the battle to the strong. You might be faster than me but that doesn't mean you're going to win.「優れた者が勝つとは限らない。あなたは私より速いかもしれないが、それはあなたが勝つという意味ではない。」

※今日の英語，old handは熟練者、ベテラン、名人を意味します．

主語はもちろん他にかえて使うことができます．

「英会話例文」
You're an old hand at this game. 「あなたはこのゲームの名人ですね。」

※今日の英語、乾杯する時の英語フレーズには様々なものがありますが，この二つは改まった言い方で，インフォーマルな言い方(Cheers!など)に比べると使用頻度は高くはないです。

Let's have a toast (to ...)は，Let's make a toast (to ...)やLet's drink a toast (to ...)の場合もあります．

「英会話例文」
Let's have a toast to your future. 「あなたの未来に乾杯しましょう。」