※今日の英語，将来の世界を作る子供たちを育てる人（特に母親）は将来の世界に大きな影響を及ぼす、というような意味合いです。
使用頻度は高くはないです。The hand that rocks the cradle is the hand that rules the world.という言い方もしますが、こちらはさらに使用頻度は低いです。
cradle は「ゆりかご」、rockは「揺り動かす」、ruleは「支配する」の意味です。
「英会話例文」
They say that the hand that rocks the cradle rules the world. Women have astonishing ability to affect societies.「ゆりかごを動かす手が世界を支配すると言われています。女性は社会に影響を与える驚くべき能力を持っているのです。」
