「意味」望み薄。わずかな見込み。わずかな可能性。見込み無し。
※今日の英語，slim（細い）とfat（太った）は真逆の意味ですが， slim chanceとfat chanceは同じような意味で使われています． slim chanceは「わずかな見込み」であるのに対して，fat chanceは「見込み無し」の意味で使うことが多いです．
fat chanceの文字通りの意味は「分厚いチャンス」なので望みがかなりありそうな感じがしますが，反語的な意味で，逆の「見込み無し」の意味で使われています．
以下の例文のように，There is a slim chance of ...やThere is a slim chance (that) ...で使うことが多いです．
「英語例文１」
There is a slim chance of getting the award.「賞を獲得できる可能性はわずかにあります。」
「英語例文２」
There is a slim chance that we can change his mind.「私たちが彼の考えを変えることができる可能性はわずかです。」