※今日の英語，けっこう使う英語表現です．
このcareは「心配」や「悩み」の意味で，not ... in the worldは「まったく...ない」という否定を強調する意味合いです．
以下もよく使います．
without a care in the world「まったく悩みがなく」「何の心配もなく」
with no care in the world「まったく悩みがなく」「何の心配もなく」
「英語例文」
They seemed not to have a care in the world, and spent their free time playing games.「彼らは何の心配もないようで、自由時間にゲームをして過ごした。」