「意味」私はめちゃくちゃ忙しい。 私は仕事や用事に追われている。私は手が回らないほど忙しい。
※今日の英語，ビジネスや日常会話でとてもよく使われる表現です。
very busy より 切迫感が強いです。
swampは名詞では「沼地」の意味がありますが，沼地（仕事や用事）に沈みかけているようなイメージです。
「英語例文」
I'd love to, but I'm swamped right now.「そうしたいところだけど、今，めちゃくちゃ忙しいんだ。」
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