to the new yearの部分は、to the weekやto your day、at your new jobなどいろいろかえて使えます。
to the weekにかえた Hope you're having a good start to the week. は職場でのメッセージやメールの冒頭で、軽い挨拶としてよく使われるフレーズです。特に月曜日や火曜日など週の初めに、相手を気遣う形で自然に使える表現です。
「英語例文」 Hope you're having a good start to the new year. Looking forward to catching up with you soon!「新年のよいスタートを切っていることを願っています。またすぐにお会いできるのを楽しみにしています!」